Question

如圖，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求點(diǎn)A₁到平面BDD₁的距離；
（3）當(dāng)

AE

=

1

2

EB

時(shí)，求二面角D₁-EC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由中位線定理可得EF∥BD₁，再由線面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得

A1B

=(0，2，-1)，面BDD₁的一個(gè)法向量，從而可求點(diǎn)A₁到面BDD₁的距離；
（3）確定面D₁EC的一個(gè)法向量，面DEC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答： （1）證明：連結(jié)AD₁交A₁D于F，則F為中點(diǎn)，連結(jié)EF，如圖．
∵E為中點(diǎn)，∴EF∥BD₁，
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE…（3分）
（2）解：由面ABCD⊥面ADD₁A，且四邊形AA₁D₁D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA，
于是以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0），
∴

DB

=(1，2，0)，

DD1

=(0，0，1)，

A1B

=(0，2，-1)，
設(shè)面BDD₁的一個(gè)法向量為

n1

=（x₁，1，z₁），
∴

x1+2=0 z1=0

，∴

n1

=（（-2，1，0），∴點(diǎn)A₁到面BDD₁的距離d=

| A1B •n1|

|n1|

=

2 5

5

（3）解：由（2）及題意知：面D₁EC的一個(gè)法向量為n2=(

2

3

，

1

2

，1)，
面DEC的一個(gè)法向量是

DD1

=(0，0，1)，
則cosθ=

n2• DD1

|n2|•|DD1|

=

1

61 6 ×1

=

6 61

61

，
即D₁-EC-D的余弦值為：

6 61

61

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，點(diǎn)到面的距離，考查面面角，解題時(shí)，兩法并舉，注意體會(huì)．