Question

3．設(shè)直線y=2被拋物線P：x²=2py（p＞0）截得的弦長等于8，．
（1）求p的值；
（2）設(shè)直線l的方程為y=2x+9，在拋物線P上是否存在兩不同點(diǎn)A，B使得A，B關(guān)于直線l對稱？如存在，求出A，B的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）假設(shè)在拋物線P上存在兩不同點(diǎn)A，B使得A，B關(guān)于直線l對稱．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），設(shè)直線AB的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+m，與拋物線方程聯(lián)立可得x²+4x-8m=0，由△=16+32m＞0，解得m范圍．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、根與系數(shù)的關(guān)系可得M．代入直線l的方程解得m并驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=±2\sqrt{p}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴$4\sqrt{p}$=8，解得p=4．
∴p=4．
（2）假設(shè)在拋物線P上存在兩不同點(diǎn)A，B使得A，B關(guān)于直線l對稱．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）
設(shè)直線AB的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，化為x²+4x-8m=0，（*）
△=16+32m＞0，解得$m＞-\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=-2，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-1，${y}_{0}=-\frac{1}{2}×（-1）+m$=$\frac{1}{2}+m$，
∴M$（-1，\frac{1}{2}+m）$．
代入直線l的方程可得：$\frac{1}{2}+m=2×（-1）+9$，解得m=$\frac{13}{2}$，滿足△＞0．
∴（*）化為x²+4x-52=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2\sqrt{14}}\\{y=\frac{15}{2}-\sqrt{14}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2\sqrt{14}}\\{y=\frac{15}{2}+2\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
即A$（-2+2\sqrt{14}，\frac{15}{2}-\sqrt{14}）$，B$（-2-2\sqrt{14}，\frac{15}{2}+2\sqrt{14}）$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與拋物線相交得出轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．