Question

11．已知直線l的斜率為2，M、N是直線l與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的兩個交點，設(shè)M、N的中點為P（2，1），則C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)AB的中點P的坐標(biāo)，表示出斜率，利用點差法，得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，再求離心率

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，①$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，②，
∵點P（2，1）是AB的中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∵直線l的斜率為2，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=2$，
∴①-②得a²=b²，
∴c²=2a²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“設(shè)而不求”法求直線l的斜率．