Question

12．已知函數(shù)f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$mx²-（1-2m）x，m∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線過點（2，-1），求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）當(dāng)m＞-$\frac{1}{2}$時，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程，代入A的坐標(biāo)，解方程可得m的值；
（Ⅱ）求出f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，x＞0，討論：當(dāng)m≥0時，當(dāng)$-\frac{1}{2}＜m＜0$，求得單調(diào)區(qū)間和極值，討論極值符號，即可得到所求零點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定義域為（0，+∞）
導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m），
可得切線的斜率為f′（1）=m+1，且$f（1）=\frac{3m}{2}-1$，
所求切線方程 $y-（\frac{3m}{2}-1）=（m+1）（{x-1}）$，
將點（2，-1）代入切線方程，可得-$\frac{3}{2}$m=1+m，
得 $m=-\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，x＞0，
當(dāng)m≥0時，-mx-1＜0恒成立，
所以x＞2時，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）是減函數(shù)，
f（x）極小值f（2）=2ln2+2m-2；
當(dāng)f（2）＞0，即m＞1-ln2時，f（x）有兩個零點；
當(dāng)f（2）=0，即m=1-ln2時，f（x）有一個零點；
當(dāng)f（2）＜0，0≤m＜1-ln2時，f（x）無零點；
當(dāng)m＜0，f′（x）=0，得x₁=2，${x_2}=-\frac{1}{m}$
當(dāng)$-\frac{1}{2}＜m＜0$，f（x）分別在$（-\frac{1}{m}，+∞）$，（0，2）是增函數(shù)，
f（x）在$（2，-\frac{1}{m}）$是減函數(shù)，
f（x）極小值f（2）=2ln2+2m-2＜0，f（x）至多一個零點．
又y=2lnx是增函數(shù)，$y=-\frac{1}{2}m{x^2}-（1-2m）x$是開口向上的拋物線，
所以f（x）必有正值，即f（x）在$-\frac{1}{2}＜m＜0$有唯一零點；
綜上，m＞1-ln2時，f（x）有兩個零點；
m=1-ln2或$-\frac{1}{2}＜m＜0$時，f（x）有一個零點；
0≤m＜1-ln2，f（x）沒有零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)零點的個數(shù)，注意運用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．