Question

2．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G是線段BE的中點，點F在線段CD上且GF∥平面ADE．
（Ⅰ）求CF長；
（Ⅱ）求平面AEF與平面AFG的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以E為原點，EC為x軸，EB為y軸，過E作平面BEC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，由此利用向量法能求出CF．
（Ⅱ）求出平面AEF的法向量和平面AFG的法向量，利用向量法能求出平面AEF與平面AFG的夾角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以E為原點，EC為x軸，EB為y軸，
過E作平面BEC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（2，0，0），G（0，1，0），A（0，2，2），
D（2，0，2），E（0，0，0），設(shè)F（2，0，t），（0≤t≤2），
則$\overrightarrow{EA}$=（0，2，2），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，2），$\overrightarrow{GF}$=（2，-1，t），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∵GF∥平面ADE，∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}$=2-1-t=0，解得t=1，
∴CF=t=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（2，0，1），
$\overrightarrow{GF}$=（2，-1，1），$\overrightarrow{EA}$=（0，2，0），$\overrightarrow{GA}$=（0，1，2），
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-2），
設(shè)平面AFG的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GF}=2a-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GA}=b+2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{3}{2}$，-2，1），
設(shè)平面AEF與平面AFG的夾角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{29}{4}}}$=$\frac{\sqrt{145}}{145}$．

點評 本題考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．