Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，在△PAD中

PA

+

PD

=2

PE

，且AD=2PE．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；
（2）如果AB=BC，∠PAD=60°，求DC與平面PBE的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由矩形性質(zhì)得CD⊥AD，由線面垂直得CD⊥PA，直角三角形性質(zhì)得PD⊥PA．所以PA⊥平面PCD，由此能證明平面PAB⊥平面PCD．
（2）以AB為x軸，AD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能示出DC與平面PBE的正弦值．

解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面是矩形
所以CD⊥AD，
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥PA，
∵在△PAD中，

PA

+

PD

=2

PE

，且AD=2PE
∴PD⊥PA
而CD∩PD=D
∴PA⊥平面PCD，
∵PA?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PCD…（4分）
（2）解：如圖，以AB為x軸，AD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=4，
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
D（0，4，0）E（0，2，0）
在Rt△APD中AD=4，∠PAD=60°，
∴P（0，1，

3

）  …（6分）
∴

BP

=（-4，1，

3

），

BE

=（-4，2，0），
設(shè)平面PBE的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • BP =0 n • BE =0

，得

-4x+y+ 3 z=0 -4x+2y=0

．
令y=2得x=1，z=

2 3

3

，∴

n

=（1，2，

2 3

3

）…（10分）
而

DC

=（4，0，0），
∴cos＜

DC

，

n

＞=

DC • n

| DC |•| n |

=

57

19

，
∴DC與平面PBE所成角的正弦值為

57

19

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．