Question

11．函數(shù)f（x）=x+2cosx在區(qū)間[0，π]上的最大值為（　　）

• A． 2
• B． π-2
• C． $\sqrt{3}+\frac{5π}{6}$
• D． $\sqrt{3}+\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值．

解答 解：f′（x）=1-2sinx，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{π}{6}$或x＞$\frac{5π}{6}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{5π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$），（$\frac{5π}{6}$，π]遞增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）遞減，
∴f（x）_極大值=f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$，f（x）_極小值=f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
又f（0）=2，f（π）=π-2，
故所求最大值為$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．