Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)．
（I）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)平面PBC與ABCD為60°的二面角，AB=1，AD=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OE，根據(jù)中位線定理得出OE∥PB，故PB∥平面AEC；
（II）通過證明BC⊥平面PAB得出BC⊥PB，從而得出∠PBA為二面角的平面角，解出PA，代入體積公式計(jì)算體積．

解答 證明：（I）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，
∴OE∥PB，∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（II）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵四邊形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∴∠PBA為平面PBC與平面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PBA=60°，
∵AB=1，PA⊥AB，
∴PA=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，二面角的定義，體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．