Question

17．已知函數(shù)f（x）=2^x+1+$\frac{a}{2^x}$，給出如下二個命題：
p₁：?a∈R，使得函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
p₂：若a=-3，則y=f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上有零點(diǎn)．
則下列命題正確的是（　�。�

• A． ￢p₁
• B． ￢p₁∨p₂
• C． p₁∧p₂
• D． p₁∧（￢p₂）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的性質(zhì)先判定命題p₁，p₂的真假，再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出．

解答 解：對于命題p₁：假設(shè)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），∴2^-x+1+$\frac{a}{{2}^{-x}}$=2^x+1+$\frac{a}{2^x}$，化為：a$（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）$=2$（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）$，解得a=2．因此：?a=2，使得函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，因此是真命題．
對于命題p₂：函數(shù)f（x）=2^x+1-$\frac{3}{{2}^{x}}$，令f（x）=0，可得：$（{2}^{x}）^{2}=\frac{3}{2}$，可得2^x=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，∴x=$lo{g}_{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$＜$lo{g}_{2}\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$．因此a=-3，則y=f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上沒有零點(diǎn)，是假命題．
∴p₁∧（￢p₂）是真命題．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．