Question

2．已知點(diǎn)F（-c，0）（c＞0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左焦點(diǎn)，過(guò)F作直線與圓x²+y²=a²相切，并與漸近線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P，滿足|$\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OP}$|，則該雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)切線的方程為y=k（x+c），k＞0，由直線和圓相切的條件可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=a，解方程可得k，聯(lián)立漸近線方程和切線方程，求得P的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)切線的方程為y=k（x+c），k＞0，
由直線和圓相切的條件可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=a，
解得k=$\frac{a}$，
即切線的方程為y=$\frac{a}$（x+c），
代入漸近線方程y=$\frac{a}$x，
可得交點(diǎn)P（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$），
由|$\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OP}$|，可得：
c=$\frac{ac\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{^{2}-{a}^{2}}$，
即為ac=b²-a²=c²-2a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-e-2=0，
解得e=2（-1舍去），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，以及直線和圓相切的條件：d=r，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．