Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項為和S_n，且有S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2_{n}-1）}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求使得不等式T_n＞$\frac{k}{25}$對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=S_n-S_n-1可得a_n=n+5，驗證當(dāng)n=1時成立即可；通過b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），可得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，利用S₉=9b₅=9（b₃+2d）計算即可；
（2）通過a_n=n+5、b_n=3n+2，分離分母可得c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項相加可得T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），則$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＞$\frac{k}{25}$對一切n∈N^*都成立，計算即可．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{11}{2}$（n-1）=n+5，
又∵a₁=S₁=$\frac{1}{2}+\frac{11}{2}$=6滿足要求，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=n+5；
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
又∵b₃=11，前9項和為153，
∴153=9b₅=9（b₃+2d）=9（11+2d），
即公差d=3，
∴b₁=b₃-2d=11-2×3=5，
∴數(shù)列{b_n}的通項b_n=5+3（n-1）=3n+2；
（2）∵a_n=n+5，b_n=3n+2，
∴c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2_{n}-1）}$=$\frac{3}{（2n+10-11）（6n+4-1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∴不等式T_n＞$\frac{k}{25}$對一切n∈N^*都成立等價于$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＞$\frac{k}{25}$對一切n∈N^*都成立，
∴$\frac{n}{2n+1}$$＞\frac{k}{25}$，即k＜$\frac{25n}{2n+1}$=$\frac{25}{2+\frac{1}{n}}$≤$\frac{25}{3}$，
∴最大正整數(shù)k的值為8．

點評 本題是一道數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)列的通項及求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．