Question

14．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b（x∈R）．
（1）當(dāng)0≤x≤a時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)a=1，b=-1時，求不等式f（x）≥|x|的解集；
（3）若b＜0，且對任意x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x的范圍，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將a，b的值代入不等式，通過討論x的范圍，從而求出不等式的解集；
（3）通過討論a的范圍，去掉絕對值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）∵0≤x≤a，
∴f（x）=-x²+ax+b，
f′（x）=-2x+a，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{a}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{a}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）遞減，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b；
（2）a=1，b=-1時，f（x）=x|x-1|-1，
求不等式f（x）≥|x|的解集，
即為求x|x-1|-1≥|x|的解集，
①x≤0時，x（1-x）-1≥-x，
∴（x-1）²≤0，無解，
②0＜x＜1時，x（1-x）-1≥x，
∴x²+1≤0，無解，
③x≥1時，x（x-1）-1≥x，
∴x²-2x-1≥0，解得：x≥1+$\sqrt{2}$，
綜上，不等式的解集是：{x|x≥1+$\sqrt{2}$}；
（3）①若a≤0，則f（x）=x²-ax+b，f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，
只需滿足f（1）＜0，即1+b＜a＜1-b，
所以1+b＜a≤0（特別的，當(dāng)1+b≥0時，a無解）
②若0＜a＜1，則當(dāng)x＜a時，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x=$\frac{a}{2}$取最大值．
只需滿足，f（$\frac{a}{2}$）＜0，即-$\sqrt{-b}$＜a＜$\sqrt{-b}$，所以0＜a＜min（$\sqrt{-b}$，1），
當(dāng)x≥a時，f（x）=x²-ax+b，f（x）單調(diào)遞增，
只需滿足f（1）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b＜a＜1-b}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜$\sqrt{-b}$且a＜1且a＞1+b，
③若1≤a＜2，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x=$\frac{a}{2}$取最大值．
只需滿足，f（$\frac{a}{2}$）＜0，即-$\sqrt{-b}$＜a＜$\sqrt{-b}$，
所以1≤a＜$\sqrt{-b}$且a＜2（特別的，當(dāng)$\sqrt{-b}$≤1時，a無解）
④若a≥2，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，
 只需滿足f（0）＜0，顯然滿足題意．
綜合①②③④，得a取值范圍為：
1+b＜a≤0或0＜a＜$\sqrt{-b}$且a＜1且a＞1+b或1≤a＜$\sqrt{-b}$且a＜2或a≥2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想，（3）問難度較大，注意將a的范圍的劃分，本題是一道難題．