Question

已知f（x）=3sin²x-4cosx+1，x∈[

π

3

，

2π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：運用換元法，令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2π

3

]，則t∈[-

1

2

，

1

2

]，則y=-3（t+

2

3

）²+

16

3

，t∈[-

1

2

，

1

2

]即為減區(qū)間，計算即可得到所求值域．

解答： 解：f（x）=3sin²x-4cosx+1
=-3cos²x-4cosx+4
=-3（cosx+

2

3

）²+

16

3

令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2π

3

]，則t∈[-

1

2

，

1

2

]，
則y=-3（t+

2

3

）²+

16

3

，t∈[-

1

2

，

1

2

]即為減區(qū)間，
則有

5

4

≤y≤

21

4

．
則f（x）的值域為[

5

4

，

21

4

]．

點評：本題考查三角函數的值域，考查換元法求二次函數值域問題，考查運算能力，屬于中檔題．