Question

17．如圖，三棱錐P-ABC中，E，D分別是BC，AC的中點(diǎn)，PB=PC=AB=4，AC=8．BC=4$\sqrt{3}$，PA=2$\sqrt{6}$
（1）求證：BC⊥平面PED
（2）求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB，BC，AC邊的長度容易得到BC⊥AB，E，D都是中點(diǎn)，從而DE∥AB，這便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D為BC邊中點(diǎn)，從而便得到BC⊥PD，從而由線面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；
（2）要求直線AC與平面PBC所成角的正弦值，首先找到這個(gè)線面角，根據(jù)（1）便可知道，過E作PD的垂線EF，該垂線也垂直于平面PBC，從而∠ECF便是要找的線面角．下面來求這個(gè)角的正弦值，從而可根據(jù)余弦定理求出cos∠PCA，從而可求出PE=2，并且可求出PD=2，DE=2，從而△PDE為等邊三角形，從而能求出EF，CE，這即可求出sin∠ECF=$\frac{EF}{CE}$．

解答 解：（1）證明：$AB=4，BC=4\sqrt{3}，AC=8$；
∴AB²+BC²=AC²；
∴BC⊥AB；
D，E分別是BC，AC中點(diǎn)；
∴DE∥AB；
∴BC⊥DE；
又PB=PC，D是BC中點(diǎn)；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PED；
（2）PA=$2\sqrt{6}$，PC=4，AC=8；
∴由余弦定理cos∠PCA=$\frac{7}{8}$；
在△PCE中，PC=4，CE=4；
∴由余弦定理得PE=2，DE=2，并可求得PD=2；
∴△PDE為等邊三角形；
∴如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，CF，則：EF⊥PD；

又BC⊥平面PED，EF?平面PED；
∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；
∴EF⊥平面PBC；
∴∠ECF是直線AC和平面PBC所成角；
容易求出EF=$\sqrt{3}$，CE=4；
∴$sin∠ECF=\frac{EF}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
即直線AC與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，等腰三角形的中線也是高線，線面垂直的判定定理，以及余弦定理，線面垂直的性質(zhì)，線面角的概念及找法．