Question

如圖 所示的幾何體ABCDE中，底面BCDE是∠C，∠D為直角的直角梯形，側(cè)面ABE是∠A為直角的直角三角形，且AB=CD=6，BC=6

2

，AE=DE=3

2

；若二面角A-BE-C為直二面角，且F為AC的中點，求證：
（1）FD∥平面ABE；
（2）AC⊥BE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意可取AB中點為M，連接MF，ME，將證明FD∥平面ABE轉(zhuǎn)化為證明DF∥ME即可；
（2）△ABE可看成是將矩形ABCD沿BE折疊得到，過A作垂線交BE于點G，則CG⊥BD，故BE⊥平面CG，即得AC⊥BE．

解答： 證明：（1）由題意，如右圖，可取AB中點為M，連接MF，ME，
∵底面BCDE是∠C，∠D為直角的直角梯形，
∴ED∥BC，
又∵DE=3

2

，BC=6

2

，
∴ED=

1

2

BC，
∵M為AB的中點，
∴MF是△ABC的中位線，
即MF∥BC，MF=

1

2

BC，
所以MF平行且等于ED，
即四邊形MFDE為平行四邊形，從而ME平行DF，
又ME?平面ABE，F(xiàn)D?平面ABE
∴DF∥平面ABE．
（2））如右圖△ABE沿BE展開至A、B、C、D四點在同一個平面上，
∵AB=CD=6，BC=6

2

，AE=DE=3

2

，
∠C，∠D為直角，∠A為直角，
∴平面四邊形ABCD為矩形，
連結(jié)矩形ABCD的對角線AC交BE于G，則

BE

•

AC

=(

BA

+

AE

)•(

AB

+

BC

)
=-

AB

2+

AE

•

BC

=-6×6+3

2

×6

2

=0．
即

BE

⊥

AC

，故在矩形ABCD中有BE⊥AC，
由于翻折不改變此垂直關(guān)系，
所以在右圖中，AG⊥BE，GC⊥BE，
故BE⊥平面AGC，
所以BE⊥AC．

點評：本題考查線線垂直、線面平行的證明，是立體幾何中常考的題型，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵，屬難題．