Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）²-7bln x+1，其中a，b是常數(shù)且a≠0．
（1）若b=1時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)b=

4

7

a²時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥

7

2x

-x在x＞1時(shí)恒成立，通過討論x的范圍，從而求出a的范圍；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵b=1，∴f（x）=（x+a）²-7lnx+1，
∴f′（x）=2x+2a-

7

x

．
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+2a-

7

x

≥0在x＞1時(shí)恒成立．
即a≥

7

2x

-x在x＞1時(shí)恒成立．
∵當(dāng)x＞1時(shí)，y=

7

2x

-x是減函數(shù)，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，y=

7

2x

-x＜

5

2

，∴a≥

5

2

．
（2）∵b=

4

7

a²，
∴f（x）=（x+a）²-4a²ln x+1，x∈（0，+∞）．
∴f′（x）=

2x2+2ax-4a2

x

=

2(x-a)(x+2a)

x

．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，得x＞a或x＜-2a，
故f（x）的減區(qū)間為（0，a），增區(qū)間為（a，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，得x＞-2a或x＜a，
故f（x）的減區(qū)間為（0，-2a），增區(qū)間為（-2a，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道中檔題．