Question

11．如圖，給定兩個(gè)平面向量$\overrightarrow{{O}{A}}$和$\overrightarrow{{O}{B}}$，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上，且$\overrightarrow{{O}C}=x\overrightarrow{{O}{A}}+y\overrightarrow{{O}{B}}$（其中x，y∈R），則滿足y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的概率為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)∠AOC=α，則由$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$得x，y的值，從而求得y-x的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求滿足條件的角α的范圍，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)∠AOC=α，則$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（-$\frac{1}{2}y$，$\frac{\sqrt{3}}{2}y$）=（cosα，sinα）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=cosα}\\{\frac{\sqrt{3}y}{2}=sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα}\\{y=\frac{2sinα}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$，
∴y-x=$\frac{2sinα}{\sqrt{3}}$-$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$-cosα=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$-cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α-60°）．
∵0°≤α≤120°．
∴-60°≤α-60°≤60°．
當(dāng)y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α-60°）≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
則sin（α-60°）≥$\frac{1}{2}$，
∴30°≤α-60°≤60°，
即90°≤α≤120°，
∴滿足y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的概率P=$\frac{120°-90°}{120°}$=$\frac{30}{120}$=$\frac{1}{4}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為角度之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．