Question

等邊三角形ABC的邊長為3，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且滿足＝＝(如圖①)．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁－DE－B為直二面角，連接A₁B，A₁C(如圖②)．

(1)求證：A₁D⊥平面BCED；

(2)在線段BC上是否存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)證明：因為等邊△ABC的邊長為3，且＝＝，

所以AD＝1，AE＝2.

在△ADE中，∠DAE＝60°，

由余弦定理，得

DE＝＝.

因為AD²＋DE²＝AE²，

所以AD⊥DE.

折疊后有A₁D⊥DE，因為二面角A₁－DE－B是直二面角，

所以平面A₁DE⊥平面BCED，

又平面A₁DE∩平面BCED＝DE，A₁D⊂平面A₁DE，A₁D⊥DE，

所以A₁D⊥平面BCED.

(2)假設(shè)在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°，

如圖，作PH⊥BD于點H，連接A₁H，A₁P，

由(1)知，A₁D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，

所以A₁D⊥PH，又A₁D∩BD＝D，所以PH⊥平面A₁BD，所以∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，

設(shè)PB＝x(0≤x≤3)，

則BH＝，PH＝x，

在Rt△PA₁H中，∠PA₁H＝60°，所以A₁H＝x，在Rt△A₁DH中，A₁D＝1，DH＝2－x，由A₁D²＋DH²＝A₁H²，得1²＋，解得x＝，滿足0≤x≤3，符合題意，所以在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°，此時PB＝.