Question

2．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，雙曲線C的漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，△OAB（O為坐標(biāo)原點）的面積為4，則拋物線的方程為（　�。�

• A． y²=8x
• B． y²=4x
• C． y²=2x
• D． ${y^2}=4\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出雙曲線C的方程，畫出圖形，結(jié)合圖形求出拋物線上的點A坐標(biāo)，即可求出拋物線方程．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C為等軸雙曲線，即a=b；
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x；
又∵雙曲線的漸近線與拋物線y²=2px交于A，B兩點；
則設(shè)點A（x₀，x₀）（x₀＞0），
又∵△OAB的面積為$\frac{1}{2}$x₀•2x₀=4，
∴x₀=2，
將（2，2）代入拋物線方程y²=2px
解得p=1，
∴拋物線的方程為y²=2x．
故選：C．

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的定義、幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．