Question

16．已知直線y=k（x+1）（k＞0）與拋物線C：y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程化為k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用焦點(diǎn)弦與拋物線的定義可得：|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，
利用|FA|=2|FB|，聯(lián)立解出即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．
∴x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∵|FA|=2|FB|，|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，
∴x₁+1=2（x₂+1），
化為x₁=2x₂+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2{x}_{2}+1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
化為${k}^{2}=\frac{8}{9}$，
解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．