Question

【題目】已知圓A：（x+2）2+y2＝32，過B（2，0）且與圓A相切的動(dòng)圓圓心為P．

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l1交曲線E于Q、S兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線l2交曲線E于R、T兩點(diǎn)，且l1⊥l2，垂足為W（Q、S、R、T為不同的四個(gè)點(diǎn)），求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為r，由于點(diǎn)B在圓A內(nèi)，所以圓P與圓A內(nèi)切，計(jì)算可得|PA|+|PB|＝4|AB|＝4，可得點(diǎn)P符合橢圓的定義，可得其軌跡的方程；

（2）若l1或l2的斜率不存在，四邊形QRST的面積為8，若兩條直線的斜率都存在，設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l1的方程為y＝k（x+2），聯(lián)立直線與橢圓，設(shè)點(diǎn)Q（x1，y1），點(diǎn)S（x2，y2），可得 ，，可得|QS|的值，同理可得|RT|，由SQRST|QS||RT|，利用基本不等式可得其最小值.

解：（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為r，由于點(diǎn)B在圓A內(nèi)，所以圓P與圓A內(nèi)切，

∴|PA|＝4r，|PB|＝r，

∴|PA|+|PB|＝4|AB|＝4，

∴點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其中a＝2，c＝2，

∴b2＝a2﹣c2＝4，

∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為：；

（2）若l1或l2的斜率不存在，四邊形QRST的面積為8，

若兩條直線的斜率都存在，設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l1的方程為y＝k（x+2），

聯(lián)立方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，

設(shè)點(diǎn)Q（x1，y1），點(diǎn)S（x2，y2），

∴，，

∴|QS|4，

同理可得|RT|＝4，

∴SQRST|QS||RT|，當(dāng)且僅當(dāng)2k2+1＝k2+2，即k＝±1時(shí)等號成立，

綜上所述，當(dāng)k＝±1時(shí)，四邊形QRST的面積取到最小值．