Question

14．知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（I）求橢圓E的方程：
（Ⅱ）若A是橢圓E的左頂點(diǎn)，經(jīng)過左焦點(diǎn)F的直線1與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求△OAD與△OAC的面積之差的絕對(duì)值的最大值．（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析 （I）由題意可知：2a=4，2a=c，根據(jù)橢圓的性質(zhì)：b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意設(shè)直線方程，x=ky-1，將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得y₁+y₂，根據(jù)三角形的面積公式丨S₁-S₂丨=$\frac{1}{2}$×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=$\frac{6丨k丨}{3{k}^{2}+4}$，分類，當(dāng)k=0時(shí)，丨S₁-S₂丨=0，k≠0時(shí)，根據(jù)基本不等式的關(guān)系，即可求得丨S₁-S₂丨的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意得2a=4，即a=2，
2a=c，即c=1，
又b²=a²-c²，
∴b²=3
故橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)△OAD的面積為S₁，△OAC的面積為S₂，
設(shè)直線l的方程為x=ky-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∴由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，
∴由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，
∴∴丨S₁-S₂丨=$\frac{1}{2}$×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=丨y₁+y₂丨=$\frac{6丨k丨}{3{k}^{2}+4}$，
當(dāng)k=0時(shí)，丨S₁-S₂丨=0，
當(dāng)k≠0時(shí)，丨S₁-S₂丨=$\frac{6}{3丨k丨+\frac{4}{丨k丨}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3丨k丨•\frac{4}{丨k丨}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)3丨k丨=$\frac{4}{丨k丨}$，即k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)等號(hào)成立）．
∴丨S₁-S₂丨的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，三角形面積公式及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．