Question

2．如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB=AD=2，AA₁=4，M為棱DD₁上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)∠B=60°時(shí)，求三棱錐A-MCC₁的體積；
（Ⅱ）當(dāng)∠B=90°時(shí)，且A₁M+MC取得最小值時(shí)，求證：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出三棱錐的高，代入三棱錐的體積公式求出即可，
（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是棱DD₁的中點(diǎn)時(shí)，A₁M+MC取得最小值，分別求MA，AB₁的值，進(jìn)而得到$AB_1^2=M{A^2}+MB_1^2?MA⊥M{B_1}$，MC⊥MB₁，從而得到答案．

解答 解：（I）∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面CDD₁C₁，
∴點(diǎn)A到面MCC₁的距離等于點(diǎn)A到邊CD的距離，
在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=AD=2，
所以$h=\sqrt{3}$，
三棱錐A-MCC₁的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△MCC{\;}_1}}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$；
（II）將矩形DD₁C₁C繞DD₁按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°展開，與矩形DD₁A₁A共面，
此時(shí)A₁M+MC≥A₁C當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是棱DD₁的中點(diǎn)時(shí)，A₁M+MC取得最小值，
在矩形ADD₁A₁中$MA=2\sqrt{2}$，
在矩形ABB₁A₁中$A{B_1}=2\sqrt{5}$，
在△MB₁D₁中$M{B_1}=\sqrt{{B_1}D_1^2+{D_1}M_{\;}^2}=\sqrt{{B_1}C_1^2+{C_1}D_1^2+{D_1}M_{\;}^2}=2\sqrt{3}$，
所以在△MB₁A中得：$AB_1^2=M{A^2}+MB_1^2?MA⊥M{B_1}$，
同理：MC⊥MB₁，MC∩MA=M⇒B₁M⊥面MAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求棱錐的體積，考查了線面垂直的判定，是一道中檔題．