Question

6．已知f′（x）是奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），結(jié)合條件判斷出g′（x）的符號(hào)，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）奇函數(shù)判斷出
g（x）是偶函數(shù)，由f（-1）=0求出g（-1）=0，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性、奇偶性畫出函數(shù)的大致圖象，再轉(zhuǎn)化f（x）＞0，由圖象求出不等式成立時(shí)x的取值范圍．

解答 解：由題意設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）+f（x）＞0，
∴則當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴g（-x）=（-x）f（-x）=（-x）[-f（x）]=xf（x）=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，
由f（-1）=0得，g（-1）=0，函數(shù)g（x）的圖象大致如右圖：
∵不等式f（x）＞0?$\frac{g（x）}{x}$＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
由函數(shù)的圖象得，-1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（-1，0）∪（1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于綜合題．