Question

10．有下列說法：
①y=sinx+cosx在區(qū)間（-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)單調(diào)遞增；
②存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=$\frac{3}{2}$；
③y=sin（$\frac{5π}{2}$+2x）是奇函數(shù)；
④x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=cos（2x+$\frac{3π}{4}$）的一條對稱軸方程．
其中正確說法的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的三角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域以及圖象的對稱性，得出結(jié)論．

解答 解：對于y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），在區(qū)間（-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上，x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），函數(shù)單調(diào)遞增，故①正確．
∵sinαcosα=$\frac{1}{2}$sin2α≤$\frac{1}{2}$，故不存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=$\frac{3}{2}$，故②錯(cuò)誤．
∵y=sin（$\frac{5π}{2}$+2x）=sin（$\frac{π}{2}$+2x）=cos2x，是偶函數(shù)，故③錯(cuò)誤．
④由于當(dāng)x=$\frac{π}{8}$時(shí)，y=cosπ=-1，為函數(shù)的最小值，故x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=cos（2x+$\frac{3π}{4}$）的圖象的一條對稱軸方程，故④正確，
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題主要考查兩角和差的三角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域以及圖象的對稱性，屬于中檔題．