Question

18．如圖△ABC為正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，將△ABC沿BC翻折
（1）若點A的射影在BD，求AD的長；
（2）若點A的射影在△BCD內(nèi)，且AB與面ACD所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{22}}{11}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥BD交BD于E，則AE⊥平面BCD，證明BC⊥平面AOE得出E為BD的中點，利用勾股定理計算|AD|；
（2）以O(shè)為原點建立空間坐標系，設(shè)二面角D-BC-A為θ，用θ表示出A的坐標，求出$\overrightarrow{BA}$和平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BA}$＞|=$\frac{2\sqrt{22}}{11}$得出sinθ，從而得出A點坐標，代入兩點間的距離公式求出|AD|．

解答 解：（1）過A作AE⊥BD交BD于E，則AE⊥平面BCD．
取BC中點O，連接AO，OE，
∵AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AE⊥BC，
△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，
又AE∩AO=A，AE，AO?平面AOE，
∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE．
又BC⊥CD，O為BC的中點，∴E為BD的中點．
∵BC=CD=2，∴OE=$\frac{1}{2}CD$=1，AO=$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{A{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2．
（2）以O(shè)為原點，以BC為x軸，以BE為y軸，
以平面BCD的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
設(shè)二面角D-BC-A為θ，則A（0，$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{BA}$=（1，$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），$\overrightarrow{CD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{CA}$=（-1，$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-x+\sqrt{3}cosθy+\sqrt{3}sinθz=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinθ，0，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}$＞=$\frac{2\sqrt{3}sinθ}{2•\sqrt{3si{n}^{2}θ+1}}$=$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．解得sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴A（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），又D（1，2，0）．
∴|AD|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}-2）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{8-\frac{4\sqrt{3}}{3}}$．

點評 本題考查了空間角及空間距離的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．