Question

5．（1）已知正數a，b滿足2a²+b²=3，求a$\sqrt{^{2}+1}$的最大值；
（2）已知正實數x，y滿足xy=1，求（$\frac{x}{y}$+y）（$\frac{y}{x}$+x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正數a，b滿足2a²+b²=3，即有a$\sqrt{^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2{a}^{2}}$•$\sqrt{^{2}+1}$，運用重要不等式，即可得到所求最大值；
（2）由正實數x，y滿足xy=1，化簡（$\frac{x}{y}$+y）（$\frac{y}{x}$+x）=2+（x³+y³），運用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）正數a，b滿足2a²+b²=3，
即有a$\sqrt{^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2{a}^{2}}$•$\sqrt{^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2{a}^{2}+^{2}+1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{3+1}{2}$=$\sqrt{2}$，
當且僅當2a²=b²+1，即有a=b=1，取得最大值$\sqrt{2}$；
（2）正實數x，y滿足xy=1，
則（$\frac{x}{y}$+y）（$\frac{y}{x}$+x）=1+xy+$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{y}$
=2+$\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{xy}$=2+（x³+y³）≥2+2$\sqrt{（xy）^{3}}$=4．
當且僅當x=y=1時，取得最小值4．

點評 本題考查最值的求法，注意運用變形和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題．