Question

5．設函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-1|．
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{2017x-2016}{f（x）+2m}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于|x-4|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對應點到4和1對應點的距離之和，而0和5 對應點到4和1對應點的距離之和正好等于5，由此求得不等式|x-4|+|x-1|≤5的解集．
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{2017x-2016}{f（x）+2m}$的定義域為R，可得f（x）+2m≠0恒成立，|x-4|+|x-1|=-2m在R上無解，利用|x-4|+|x-1|≥3，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由于|x-4|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對應點到4和1對應點的距離之和，
而0和5 對應點到4和1對應點的距離之和正好等于5，
故不等式|x-4|+|x-1|≤5的解集為{x|0≤x≤5}．
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{2017x-2016}{f（x）+2m}$的定義域為R，可得f（x）+2m≠0恒成立，
∴|x-4|+|x-1|=-2m在R上無解，
∵|x-4|+|x-1|≥3，
∴-2m＜3，
∴m＞-$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．