Question

2．已知⊙M與⊙N的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求⊙M與⊙N的圓心的極坐標(biāo)；
（2）若⊙M、⊙N的交點(diǎn)為A，B，求直線AB的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，求出圓心坐標(biāo)，再把圓心坐標(biāo)化為極坐標(biāo)；
（2）在直角坐標(biāo)系下，把⊙O₁與⊙O₂的方程相減，可得公共弦所在的直線方程，再把它化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）由ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）得，
ρ=2cosθ-2sinθ，ρ=2sinθ+2cosθ，則ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴⊙M與⊙N的圓的普通方程：x²+y²-2x+2y=0，x²+y²-2x-2y=0，
∴⊙M與⊙N的圓心直角坐標(biāo)是M（1，-1），N（1，1），
則⊙M與⊙N的圓心的極坐標(biāo)M（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$），N（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y=0}\end{array}\right.$，
兩式相減得，y=0，
∴直線AB的直角坐標(biāo)系下的方程是y=0，
由y=ρsinθ得ρsinθ=0，
則直線AB的極坐標(biāo)方程ρsinθ=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，兩圓相交時(shí)公共弦所在方程的求法．