Question

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD∥AQ，且AQ=AB=$\frac{1}{2}$PD，M為PC中點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥QM；
（2）求二面角B-PQ-A大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明PD⊥QM；
（2）根據(jù)二面角的定義先求出二面角的平面角即可求二面角B-PQ-A大小的余弦值．

解答 證明：（1）取PD的中點(diǎn)N，連接MN，QN，
則MN∥CD，QN∥AD，
∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，
于是PD⊥MN，PD⊥QN，
∵M(jìn)N∩QN=N，MN?面MNQ，QN?面MNQ，
∴PD⊥面MNQ，
∵QM?面MNQ，
∴PD⊥QM．
（2）延長(zhǎng)PQ，DA交于E，過(guò)A作AF⊥EQ，交EQ于F，
連接BF，則易證∠AFB的二面角B-PQ-A的平面角，
不妨設(shè)AD=1，則由已知得AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
于是BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則cos$∠AFB=\frac{AF}{BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用以及二面角的求解，根據(jù)二面角的定義求出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．