Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

3

）．
（1）若f（α）=

3

3

+1，0＜a＜

π

6

，求sin2α的值；
（2）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊；若f（A）=-

1

2

，c=3，△ABC的面積S_△ABC=3

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=

3

cos（2x+

π

6

）+1，由題意易得cos（2α+

π

6

）=

1

3

，進(jìn)而可得sin（2α+

π

6

）=

2 2

3

，而sin2α=sin（2α+

π

6

-

π

6

），代入兩角差的正弦公式計(jì)算可得；
（2）由（1）易得cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，結(jié)合A的范圍可得A=

π

3

，再由面積公式可得b=4，由余弦定理可得．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

3

）
=1+cos2x+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=

3

cos（2x+

π

6

）+1，
∴f（α）=

3

cos（2α+

π

6

）+1=

3

3

+1，
∴cos（2α+

π

6

）=

1

3

，
∵0＜α＜

π

6

，∴0＜2α+

π

6

＜

π

3

，
∴sin（2α+

π

6

）=

1-cos2(2α+ π 6 )

=

2 2

3

，
∴sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)=sin(2α+

π

6

)cos

π

6

-sin

π

6

cos(2α+

π

6

)=

2 6 -1

6

（2）∵f（x）=

3

cos（2x+

π

6

）+1，
∴f（A）=

3

cos（2A+

π

6

）+1=-

1

2

，
∴cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，
又∵A∈（0，

π

2

），∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

又∵c=3，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3

3

，∴b=4
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=13，
∴a=

13

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．