Question

【題目】如下圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

試題分析：（I）連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，根據(jù)中位線有，所以；（II）設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算線面角的正弦值.

試題解析：

證法1：連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，

為的中點(diǎn)，∴

∴.

【證法2：取中點(diǎn)，連接和，

平行且等于，∴四邊形為平行四邊行

∴

，

∴，

同理可得

∴

又

∴.

（Ⅱ），∴

又，∴

又∴

法一：設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則.

∴，

平面的一個(gè)法向量，

.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

【法二：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則

，故，∴

，∴

延長相交于點(diǎn)，連結(jié)，

則為直線與平面所成的角.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，故，又

∴

即直線與平面所成的角的正弦值為.】

【法三：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則

，故，∴

，∴

取中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作，則，

連結(jié)，，

∴為直線與平面所成的角，

即直線與平面所成的角的正弦值為.】