Question

1．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M、N兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用關(guān)系式把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程．
（2）利用參數(shù)方程和拋物線方程建立成關(guān)于t的一元二次方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出兩根和與兩根積，進(jìn)一步利用等比數(shù)列進(jìn)一步求出a的值．

解答 解：（1）曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：y²=2ax

線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x-y-2=0．
（2）將直線的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入y²=2ax得到：
$\frac{1}{2}{t}^{2}-（4\sqrt{2}+\sqrt{2}a）t+16+4a=0$，
所以：${t}_{1}+{t}_{2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a$，t₁t₂=32+8a，①
則：|PM|=t₁，|PN|=t₂，|MN|=|t₁-t₂|
|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
所以：$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}=|{t}_{1}{t}_{2}|$，②
由①②得：a=1．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，利用根和系數(shù)的關(guān)系建立方程組求解，等比數(shù)列的應(yīng)用．