Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx+1（ω＞1，a＞0，b＞0）的周期為π，$f（{\frac{π}{4}}）=\sqrt{3}+1$，且f（x）的最大值為3．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）的對稱中心和對稱軸；
（3）說明f（x）的圖象由y=2sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最值、圖象的對稱性求得ω、a、b的值，可得f（x）的表達式．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的對稱性求得f（x）的對稱中心和對稱軸．
（3）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx+1
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（ωx+α）+1（ω＞1，a＞0，b＞0，其中銳角α滿足tanα=$\frac{a}$）
的周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
又$f（{\frac{π}{4}}）=\sqrt{3}+1$，且f（x）的最大值為3，
∴asin$\frac{π}{2}$+bcos$\frac{π}{2}$+1=a+1=$\sqrt{3}$+1，且 $\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$+1=3，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴α=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，1），k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（3）把y=2sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$的單位，可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所的圖象向上平移1個單位，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象．

點評 本題主要考查輔助角公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最值、圖象的對稱性以及它的圖象的變換規(guī)律，屬于中檔題．