Question

13．在直角坐標(biāo)系中，以x軸正半軸為始邊的兩銳角α，β的終邊與單位圓分別交于A、B兩點(diǎn)，已知：x_A=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，x_B=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 首先，結(jié)合三角函數(shù)的定義，得到cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，然后，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解．

解答 解：根據(jù)三角函數(shù)的定義，得
cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵α，β為兩銳角，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴sin（α+β）的值$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式等知識，屬于中檔題．