Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1}$，其中x∈R．
（Ⅰ）證明：2π是函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）①指出并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
②寫出（不必說明理由）函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的周期性的定義，即可得證；
（Ⅱ）①函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．運用奇函數(shù)的定義即可得到；
②x=$\frac{π}{2}$為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（Ⅲ）由f（x）為奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，且對稱軸為x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，根據對稱軸處取得最值，即可得到值域．

解答 解：（Ⅰ）證明：由-1≤sinx≤1，可得函數(shù)f（x）的定義域為R，
f（x+2π）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}（x+2π）}+sin（x+2π）-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}（x+2π）}+sin（x+2π）+1}$=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1}$=f（x），
即有2π是函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）①函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：f（-x）+f（x）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}-sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}-sinx+1}$+$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1}$
=$\frac{（1+si{n}^{2}x）-（sinx+1）^{2}+（1+si{n}^{2}x）-（sinx-1）^{2}}{（\sqrt{1+si{n}^{2}x}-sinx+1）（\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1）}$
=0，
即有f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)．
②x=$\frac{π}{2}$為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（Ⅲ）由f（x）為奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，f（0）=0，且對稱軸為x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
代入x=$\frac{π}{2}$，可得f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}\frac{π}{2}}+sin\frac{π}{2}-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}\frac{π}{2}}+sin\frac{π}{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{2}$-1．
代入x=-$\frac{π}{2}$，可得f（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}（-\frac{π}{2}）}+sin（-\frac{π}{2}）-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}（-\frac{π}{2}）}+sin（-\frac{π}{2}）+1}$=$\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$=1-$\sqrt{2}$．
即有函數(shù)的值域為[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1]．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，主要考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性、對稱性的判斷和運用，同時考查函數(shù)的值域求法，屬于中檔題．