Question

20．AB是過橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1的左焦點F傾斜角為$\frac{π}{3}$的弦，則AB的長為$\frac{16}{7}$．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標，根據(jù)點斜率式設AB方程，與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關系，根據(jù)弦長公式即可算出弦AB的長．

解答 解：∵橢圓方程$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1，
∴焦點分別為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$，AB的斜率為$\sqrt{3}$，
∴可設直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{6}$，
將AB方程與橢圓方程消去y，得7x²+12$\sqrt{2}$x+8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：
x₁+x₂=-$\frac{12}{7}$$\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{8}{7}$，因此，|AB|=$\sqrt{1+3}$•|x₁-x₂|=2$\sqrt{（\frac{12\sqrt{2}}{7}）^{2}-4×\frac{8}{7}}$=$\frac{16}{7}$．
故答案為：$\frac{16}{7}$．

點評 本題給出橢圓經(jīng)過焦點且傾斜角為 $\frac{π}{3}$的弦AB，求弦長．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．