Question

15．用一個與圓柱母線成60⁰角的平面截圓柱，截口為一個橢圓，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知，橢圓的短軸長等于圓柱的底面直徑，由題意結合三角形中的邊角關系求得橢圓的長軸長，再由隱含條件求出半焦距，求解可求．

解答 解：如圖，設圓柱的底面直徑為2R，
則橢圓的短軸長2b=2R，b=R．
又截面與圓柱的母線成60°角，
則2a=$\frac{2R}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$R，
則a=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$．
∴c²=a²-b²=$\frac{4}{3}$R²-R²=$\frac{{R}^{2}}{3}$，
∴c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}R}{3}}{\frac{2\sqrt{3}R}{3}}$=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查平面與圓柱的截線，考查橢圓的性質，考查三角形中的邊角關系，是基礎題．