Question

5．已知$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}），\overrightarrow m•\overrightarrow n=1$，且A為銳角
（1）求角A的大��；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)，化簡已知條件，通過A為銳角．解得A．
（2）利用倍角公式化簡函數(shù)f（x）=cos2x+4sinAsinx的表達式．利用正弦函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}），\overrightarrow m•\overrightarrow n=1$=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），A為銳角．
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$．解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
當x∈R時，sinx∈[-1，1]．
∴函數(shù)f（x）在sinx=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最大值$\frac{3}{2}$．在sinx=-1時，函數(shù)取得最小值：-3．
函數(shù)f（x）=cos2x+4sinAsinx（x∈R）的值域：[-3，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．