Question

1．已知三棱錐O-ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB=60°，當(dāng)△AOC和△BOC的面積之和最大時(shí)，則O到面ABC的距離為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
• B． $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
• D． $\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)∠AOC=∠BOC=90°時(shí)，△AOC和△BOC的面積之和最大，由此能求出O到面ABC的距離．

解答 解：設(shè)球O的半徑為R，
∵S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}{R}^{2}$（sin∠AOC+sin∠BOC），-
∴當(dāng)∠AOC=∠BOC=90°時(shí)，△AOC和△BOC的面積之和最大，
此時(shí)OA⊥OC，OB⊥OC，
∴OC⊥平面AOB，
∴V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}OC×\frac{1}{2}OA•OBsin∠AOB$=$\frac{1}{6}{R}^{3}sin60°$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=BC=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，AB=2，∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
設(shè)O到面ABC的距離為h，則V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴O到面ABC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．