Question

13．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cos90°+tcos60°}\\{y=cos45°+tcos30°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C極坐標(biāo)方程為：ρ=-2cos（θ+$\frac{3π}{4}$），設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)．
（1）將直線l化成直角坐標(biāo)方程，寫成斜截式，并求出直線l的傾斜角；
（2）若曲線C上存在異于A，B的點(diǎn)C，使得△ABC的面積最大，求出面積最大值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出參數(shù)t，列出方程整理即可；
（2）求出曲線C的普通方程，利用垂徑定理求出AB，和AB邊上高的最大值．

解答 解：（1）由x=cos90°+tcos60°=$\frac{1}{2}t$得t=2x，由y=cos45°+tcos30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t得t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為2x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即6x-2$\sqrt{3}$y+$\sqrt{6}$=0．化成斜截式方程為y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
直線l的斜率為$\sqrt{3}$，∴直線l的傾斜角為60°．
（2）∵曲線C極坐標(biāo)方程為：ρ=-2cos（θ+$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ，∴ρ²=$\sqrt{2}ρ$cosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y，即（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
∴曲線C表示以（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）為圓心，以r=1為半徑的圓．
圓心到直線l的距離d=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{36+12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴AB=2$\sqrt{{r}^{2}-aeuiwcf^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴△ABC的面積最大值為$\frac{1}{2}$AB×（d+r）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}×（1+\frac{\sqrt{6}}{4}）$=$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線與與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．