Question

8．已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，且sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面積為6$\sqrt{3}$，求$\frac{c}{sinC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，設a=2x，則b=3x，c=$\sqrt{7}$x，由余弦定理可求得cosC=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），可得C的值．
（2）由三角形面積公式可求得：ab=24，又由（1）得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，即可解得a，b，c的值，從而可求$\frac{c}{sinC}$的值．

解答 解：（1）∵sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$，
∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，
∴設a=2x，則b=3x，c=$\sqrt{7}$x，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{x}^{2}+9{x}^{2}-7{x}^{2}}{2×2x×3x}$=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC的面積為6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ab=24．
又∵由（1）可得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，
∴解得：a=4，b=6，c=2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，比例的性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．