Question

20．空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足|AB|=1，|CD|=2，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，若AB與CD所在直線的所成角為60°，則|EF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，推導(dǎo)出EO∥CD，且|EO|=1，F(xiàn)O∥AB，且|FO|=$\frac{1}{2}$，∠EOF（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成的角，由此能求出EF．

解答 解：取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，
∵四面體ABCD中，|AB|=1，|CD|=2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為60°，
∴EO∥CD，且|EO|=1，F(xiàn)O∥AB，且|FO|=$\frac{1}{2}$，
∴∠EOF（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成的角，
∴∠EOF=60°或120°，
∴∠EOF=60°，EF=$\sqrt{\frac{1}{4}+1-2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠EOF=120°，EF=$\sqrt{\frac{1}{4}+1+2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，考查空間角，考查余弦定理的運(yùn)用，不要漏掉一種情況．