Question

9．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2+x）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2-x），則不等式f（x）＜f（1-x）的解集為（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-1，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，2）

Answer 1

分析 由題意和真數(shù)大于零列出不等組，求出函數(shù)f（x）的定義域，利用對數(shù)的運(yùn)算化簡解析式，設(shè)t═-1-$\frac{4}{x-2}$，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性和定義域列出不等式組，求出不等式的解集．

解答 解：由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜x＜2，
則函數(shù)f（x）的定義域是（-2，2），
又f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2+x）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{2+x}{2-x}$）
=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[$\frac{-（2-x）+4}{2-x}$]=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-1-$\frac{4}{x-2}$），
設(shè)t=-1-$\frac{4}{x-2}$，則t=-1-$\frac{4}{x-2}$在（-2，2）上遞增，
∴函數(shù)f（x）在（-2，2）上遞減，
由不等式f（x）＜f（1-x）得，$\left\{\begin{array}{l}{x＞1-x}\\{-2＜x＜2}\\{-2＜1-x＜2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜x＜2$，
∴不等式的解集是$（\frac{1}{2}，2）$，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的定義域，及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查換元法的應(yīng)用，注意對數(shù)函數(shù)的定義域．