Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{3}{x}-x+alnx$，且x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-m，討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)？
（參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.61，ln3≈1.10）．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$，及x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點得a=4．
（II）有函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，在令導(dǎo)函數(shù)大于零解出的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）由題意先求出函數(shù)f（x）的解析式，再利用令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是函數(shù)y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點個數(shù)，結(jié)合圖象即得．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$，
由x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點得：
f′（3）=-$\frac{1}{3}$-1+$\frac{a}{3}$=0⇒a=4．
（II）由（I）知：f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$，根據(jù)f′（x）＞0得：1＜x＜3；
由f′（x）＜0及x＞0得：0＜x＜1；或x＞3；
于是，（0，1）為其單調(diào)遞減區(qū)間；（1，3）為其單調(diào)遞增區(qū)間；（ 3，+∞）為其單調(diào)遞減區(qū)間；
（III）令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，
函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是函數(shù)y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點個數(shù)，
由下表結(jié)合圖象得當(dāng)m＜2時，
函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為0；
當(dāng)m=2或m＞4ln3-2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為1；
當(dāng)2＜m＜4ln5-$\frac{22}{5}$或m=4ln3-2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為2；
當(dāng)4ln5-$\frac{22}{5}$≤m＜4ln3-2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．