Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|，a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時，把原不等式去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化簡函數(shù)f（x）的解析式，求得它的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點的坐標(biāo)，從而求得f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積；再根據(jù)f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，從而求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，不等式f（x）＞1，即|x+1|-2|x-1|＞1，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-2（1-x）＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{x+1-2（1-x）＞1}\end{array}\right.$ ②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+1-2（x-1）＞1}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得$\frac{2}{3}$＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
綜上可得，原不等式的解集為（$\frac{2}{3}$，2）．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-2a，x＜-1}\\{3x+1-2a，-1≤x≤a}\\{-x+1+2a，x＞a}\end{array}\right.$，
由此求得f（x）的圖象與x軸的交點A （$\frac{2a-1}{3}$，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的第三個頂點C（a，a+1），
由△ABC的面積大于6，
可得$\frac{1}{2}$[2a+1-$\frac{2a-1}{3}$]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范圍為（2，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．