Question

2．當實數(shù)k為何值時，圓C₁：x²+y²+4x-6y+12=0和圓C₂：x²+y²-2x-14y+k=0分別相交、相切、相離？

Answer 1

分析 （1）將兩圓化成標準方程，算出圓心坐標和它們的半徑．根據(jù)兩圓相交的性質(zhì)，建立關(guān)于a的不等式，解之即可得出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)，利用兩點間的距離公式建立關(guān)于a的等式，即可解出滿足條件的實數(shù)a的值；
（3）根據(jù)兩圓相離的性質(zhì)，建立關(guān)于a的不等式，解之即可得出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍

解答 解：圓C₁：x²+y²+4x-6y+12=0，可化為（x+2）²+（y-3）²=1，圓心為（-2，3），半徑為1；C₂：x²+y²-2x-14y+k=0，可化為（x-1）²+（y-7）²=50-k，圓心為（1，7），半徑為$\sqrt{50-k}$．
（1）圓C₁與圓C₂相交，|$\sqrt{50-k}$-1|＜$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$＜$\sqrt{50-k}$+1，∴14＜k＜34；
（2）圓C₁與圓C₂相切，|$\sqrt{50-k}$-1|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$或$\sqrt{50-k}$+1=5，∴k=14或34；
（3）圓C₁與圓C₂相離，$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$＞$\sqrt{50-k}$+1，∴k=34．

點評 本題給出含有參數(shù)的圓方程，在滿足特殊位置關(guān)系情況下求參數(shù)的值或范圍．著重考查了圓的方程、兩圓位置關(guān)系和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．