Question

10．O是平面α上一點，A、B、C是平面α上不共線三點，平面α內(nèi)的動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
（1）若$λ=\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$的值．
（2）若AB=1，AC=2，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=1，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時，P為線段BC的中點，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，即所求值為0；
（2）在△ABC中建立坐標(biāo)系，設(shè)∠A=α，求出各點坐標(biāo)，帶入數(shù)量積坐標(biāo)公式解出λ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）
∴點P為BC中點．
∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$=0．
（2）以AC所在直線為x軸，AC邊上的高所在直線為y軸建立坐標(biāo)系如圖，

設(shè)∠BAC=α，則A（-cosα，0），B（0，sinα），C（2-cosα，0）．
∴$\overrightarrow{BC}$=（2-cosα，-sinα），$\overrightarrow{AB}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{AC}$=（2，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=λ（2+cosα，sinα）．
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=1，
∴λ[（2+cosα）（2-cosα）-sin²α]=1
即5λ=1
∴λ=$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，數(shù)量積運算，屬于中檔題．