Question

3．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．
（1）求異面直線OC₁與AB₁所成的角的度數(shù)；
（2）證明：面C₁OD∥面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （2）連接DC₁，C₁B，可得ADC₁B₁是平行四邊形．由于AB₁∥DC₁，可得∠DC₁O為AB₁與C₁O所成的角．利用正方體的性質(zhì)可得DC₁=C₁B=BD，即可得出．
（2）連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，利用正方體的性質(zhì)可證明：AOC₁O₁是平行四邊形．得到C₁O∥AO₁，再利用線面平行的判定定理即可得出C₁O∥平面AB₁D₁．證明DB∥平面AB₁D₁，即可證明面C₁OD∥面AB₁D₁．

解答 （1）解：連接DC₁，C₁B，
∴ADC₁B₁是平行四邊形．
∴AB₁∥DC₁，
∴∠DC₁O為AB₁與C₁O所成的角．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴DC₁=C₁B=BD．
又O是BD的中點(diǎn)，
∴∠DC₁O=30°
∴異面直線AB₁與C₁O所成角為30°；
（2）證明：連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴A₁A∥CC₁，且A₁A=CC₁，
∴A₁ACC₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點(diǎn)，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四邊形．
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
∵BDD₁B₁是平行四邊形，
∴D₁B₁∥DB，
∵D₁B₁?面AB₁D₁，DB?面AB₁D₁，
∴DB∥平面AB₁D₁．
∵DB∩C₁O=O，
∴面C₁OD∥面AB₁D₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及其性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、線面判定定理、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．