Question

9．如圖所示，已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）證明：直線：A₁C⊥平面BC₁D；
（2）求點(diǎn)C到平面BC₁D的距離．

Answer 1

分析 （1）利用向量法，證明CA₁⊥BC₁，CA₁⊥BD，即可證明A₁C⊥平面BC₁D；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A，D₁，B₁，C₁，的坐標(biāo)，求出向量 $\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（-1，-1，-1），求出平面AB₁D₁的法向量，利用空間向量求解距離的計(jì)算公式求解即可．

解答 （1）證明：連接AC交BD于一點(diǎn)O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方體中，AA₁⊥平面ABCD，
所以，AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA₁又A₁C?平面CAA₁
所以A₁C⊥BD，
同理可證A₁C⊥BC₁，又 BC₁交BD于一點(diǎn)B，
所以A₁C⊥平面BC₁D．
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，0，0）、D₁（0，1，1）、B₁（1，0，1）、C₁（1，1，1），向量 $\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（-1，-1，-1），$\overrightarrow{{AD}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{AB}_{1}}$=（1，0，1）．
設(shè) $\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AB₁D₁的法向量，于是，有 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AB}_{1}}=0\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ a+z=0\end{array}\right.$．
令z=-1，得x=1，y=1．于是平面AB₁D₁的一個(gè)法向量是 $\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．
因此，C₁到平面AB₁D₁的距離d=$\left|\frac{\overrightarrow{{C}_{1}A}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了異面直線的判定，直線與平面位置關(guān)系中的垂直問題，證明思路是：要證線面垂直，需證線線垂直，在證明線線垂直過程中，往往需要通過證明線面垂直來實(shí)現(xiàn)，要注意線面垂直、線線垂直間的相互轉(zhuǎn)化．同時(shí)考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查計(jì)算能力．